Nand E Nor

Algebre binarie #

Si definisce algebra binaria, un sistema matematico formato da un insieme di operatori definiti assiomaticamente ed atti a descrivere con una espressione ogni possibile funzione di variabili binarie. Oggi è possibile rappresentare ogni funzione binaria con soltanto operatori NAND ($\uparrow$) o NOR ($\downarrow$).

NAND #

  • NOT: $x' = x \uparrow x$
  • AND: $xy = (x \uparrow y)'$
  • OR: $x+y = x' \uparrow y'$

NOR #

  • NOT: $x' = x \downarrow x$
  • OR: $x + y = (x \downarrow y)'$
  • AND: $xy = x' \downarrow y'$

Sintesi con NAND #

La sintesi “a NAND” può essere effettuata trasformando un’espressione SP (SP, SPS, SPSP, $\dots$) che descrive la funzione assegnata, in una nuova espressione contenente esclusivamente operatori “$\uparrow$”.

  1. Si parte dall’espressione SP, SPS. SPSP, $\dots$
  2. Si sostituisce il simbolo “$\uparrow$” ad ogni simbolo “$*$”
  3. Si sostituisce il simbolo “$\uparrow$” ad ogni simbolo “$+$” e si completano le variabili singole affiancate a tale simbolo senza aggiungere o togliere parentesi
  4. (Opzionale) Se compaiono segnali di ingresso in forma negata e non sono disponibili, si sostituiscono con il NAND del segnale in forma vera.

e.g.

  • $F = a*b + c'*d + e*f' + g$
  • $F = (a \uparrow b)' + (c' \uparrow d)' + (e \uparrow f')' + g$ (per la definizione: $xy = (x \uparrow y)'$)
  • $F = ((a \uparrow b) * (c' \uparrow d) * (e \uparrow f') * g')'$ (seconda legge di De Morgan: $a' + b' = (ab)'$)
  • $F = (a \uparrow b) \uparrow (c' \uparrow d) \uparrow (e \uparrow f') \uparrow g'$ (per la definizione: $xy = (x \uparrow y)' \implies (xy)' = x \uparrow y$)

Sintesi con NOR (algoritmo) #

  1. Si parte da un’espressione PS, PSP, PSPS, $\dots$
  2. Si sostituisce il simbolo “$\downarrow$” ad ogni simbolo “$+$”
  3. Si sostituisce il simbolo “$\downarrow$” ad ogni simbolo “$*$” e si completano le variabili singole affiancate a tale simbolo senza aggiungere o togliere parentesi
  4. (Opzionale) Se compaiono segnali di ingresso in forma negata e non sono disponibili, li sostituisco con il NOR del segnale in forma vera.