Multiplexer

Esempio #

Un multiplexer o selettore a $2$ vie. Un selettore è l’equivalente, in hardware, di un “if”. Permette di decidere tramite un segnale $A$, quale tra le due vie d’ingresso, $I_0$ o $I_1$, sarà replicata dall’uscita. La tabella della verità e l’equazione SP risultante sono le seguenti:

$A$ \ $I_1,I_0$ 00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 0 0 1 1
$$ Z = A'I_0 + A I_1 $$

Multiplexer (MUX) generico #

Il concetto di selettore può essere generalizzato a $n$ bit di indirizzo. Gli $n$ bit di indirizzo selezionano uno tra i $2^n$ ingressi detti “vie” o anche “bit di programmazione”, a seconda dell’uso che si fa del MUX. Al crescere d $n$ cresce esponenzialmente il numero delle vie. L’ingresso replicato sull’uscita si determina nel seguente modo:

$$ i = A_{n-1} 2^{n-1} + \dots + A_1 2^1 + A_0 2^0 $$

Teorema dell’espansione di Shannon #

Data una funzione $F$ di $n$ variabili binarie, vale la relazione:

$$ F(x_1, \dots, x_i, \dots, x_n) = x_i F(x_1, \dots, 1, \dots, x_n) + \overline{x_i} F(x_1, \dots, 0, \dots, x_n) $$

La relazione duale è ugualmente valida:

$$ F(x_1, \dots, x_i, \dots, x_n) = (x_i + F(x_1, \dots, 0, \dots, x_n))(\overline{x_i} + F(x_1, \dots, 1, \dots, x_n)) $$

Espressioni generali #

In generale, applicando ripetutamente il teorema di espansione di Shannon, è possibile dedurre le seguenti espressioni generali:

  • $$ F(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=0}^{2^n-1} m(i) * F(i) $$
  • $$ F(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=0}^{2^n-1} (M(i) + F(i)) $$

e.g.

Full adder in espressioni generali

  1. Espressione canonica:
    • $R = m(3) + m(5) + m(6) + m(7)$
    • $R = a'br + ab'r + abr' + abr$
  2. E5, Identità:
    • $R = m(3) * 1 + m(5) * 1 + m(6) * 1 + m(7) * 1$
    • $R = a'br * 1 + ab'r * 1 + abr' * 1 + abr * 1$
  3. E6 e E5, Limite e Identità:
    • $R = m(3) * 1 + m(5) * 1 + m(6) * 1 + m(7) * 1 + m(0) * 0 + m(1) * 0 + m(2) * 0 + m(4) * 0$
    • $R = a'br * 1 + ab'r * 1 + abr' * 1 + abr * 1 + a'b'r' * 0 + a'b'r * 0 + a'br' * 0 + ab'r' * 0$

Il MUX come rete programmabile #

Il MUX si adatta bene a realizzare l’espressione generale nel caso SP. Con $n$ variabili occorre un MUX a $n$ bit di indirizzo. Il MUX viene utilizzato, in questo caso, come generatore di funzioni.

MUX in forma integrata #

Esistono MUX a 2,4,8 o 16 bit di programmazione. Il circuito integrato ha un numero di pin limitati, ma gli ingressi di un MUX crescono esponenzialmente, perciò saranno disponibili in forma integrata, al massimo MUX a 16 bit di programmazione.