Prodotto cartesiano tra due insiemi #
Dati: $\mathbb{A}_1$ e $\mathbb{A}_2$
$$ \mathbb{A}_1 \times \mathbb{A}_2 = \{ (a_1, a_2) : a_1 \in \mathbb{A}_1, a_2 \in \mathbb{A}_2 \} $$Coincidenza di due coppie cartesiane #
$$ (a_1, a_2) = (a_3, a_4) \implies a_1 = a_3, a_2 = a_4 $$Insiemi coincidenti #
Dati: $n \in \mathbb{N}$, $\mathbb{A}_1, \dots, \mathbb{A}_n : \mathbb{A}_1 = \dots = \mathbb{A}_n = \mathbb{A}$
$$ \mathbb{A}_1 \times \dots \times \mathbb{A}_n = \mathbb{A}^n $$Se: $\mathbb{A} = \mathbb{R}$
$$ \mathbb{R}^n = \{ (x_1, \dots, x_n) : x_1 \in \mathbb{R}, \dots, x_n \in \mathbb{R} \} $$Somma in $\mathbb{R}^n$ #
Dati: $n \in \mathbb{N}$, $\mathbb{R}^n$
$$ (\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n) = (x \times y \to x + y \in \mathbb{R}^n) $$e.g.
- $n=3, x=(1, \pi, -1), y=(0,-\pi, 2), x+y=(1,0,1)$
- $x=(x_1, \dots, x_n), y=(y_1, \dots, y_n), x+y=(x_1+y_1, \dots, x_n+y_n)$
Proprietà della somma #
Dati: $x,y,z \in \mathbb{R}^n, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$
- $y + x = x + y$
- $(x+y)+z = x+(y+z)$
- $0 = (0, \dots, 0), \forall x \in \mathbb{R}^n, x+0 = 0+x = x$
- $\forall x \in \mathbb{R}^n, \exists -x : x+(-x) = (-x)+x = 0$
- $(\lambda + \mu)x = (\lambda x) + (\mu x)$
- $\lambda(x+y) = \lambda x + \lambda y$
- $\lambda(\mu x) = (\lambda \mu)x$
- $\forall x \in \mathbb{R}^n, 1x = x$
Prodotto scalare in $\mathbb{R}^n$ #
Dati: $x=(x_1, \dots, x_n)$, $y=(y_1, \dots, y_n)$
$$ x*y = < x,y > = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n = \sum_{j=1}^{n} x_j y_j $$Operazione di tipo $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$.
- $x*y = 0 \implies$ $x$ e $y$ sono ortogonali
- $x*y = ($lunghezza di $x)*($lunghezza di $y) * cos(0)$
Proprietà del prodotto scalare #
Dati: $x,y,z \in \mathbb{R}^n, \lambda \in \mathbb{R}$
- $(x+y)z = x*z + y*z$
- $y*x = x*y$
- $(\lambda x)y + \lambda(x*y) = x(\lambda y)$
- $x*x \geq 0 \implies x=(x_1, \dots, x_n), x*x=(x_1^2 + \dots x_n^2)$
- $x*x = 0 \implies x=(0, \dots, 0)$