Formula di Taylor #

Data una funzione $f(x)$ si vuole approssimare con un polinomio.

Se $f(x)$ è derivabile $n$-volte, il polinomio può essere preso di grado $n$. La formula di Taylor prevede che, una volta fissato $x_0$:

$$ f(x) - p(x) = o((x - x_0)^n) \text{ per } x \to x_0 $$

$o((x - x_0)^n)$ è detto “resto di Peano”.

Polinomio di Taylor #

Dati $f(x)$ derivabile $n$ volte, $x_0 \in \mathbb{R}$:

$$ f(x) = f(x_0) + Df(x_0)(x - x_0) + \frac{D^2f(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + \dots + \frac{D^nf(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) \text{ per } x \to x_0 $$

Polinomi di funzioni comuni #

Alcuni polinomi di Taylor di funzioni comuni rappresentati fino al 4° grado:

$\sin(x) \rightarrow x - \frac{1}{6}x^3$
$\cos(x) \rightarrow 1 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{24}x^4$
$e^x \rightarrow 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4$
$\ln(1+x) \rightarrow x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4$
$(1+x)^\alpha \rightarrow 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{6}x^3 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)(\alpha - 3)}{24}x^4$

Resto secondo Lagrange #

Oltre al “resto di Peano” esistono altri tipi di resto. Uno di questi è il “resto di Lagrange”.

Dato: $c \in [x, x_0]$:

$$ f(x) = f(x_0) + Df(x_0)(x - x_0) + \frac{D^2f(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + \dots + \frac{D^nf(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + \frac{D^{n+1}f(c)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1} \text{ per } x \to x_0 $$