Serie

Successioni #

Una successione di numeri reali è una funzione da $\mathbb{N}$ in $\mathbb{R}$.

$$ f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} $$

I termini della successione sono notati nella seguente maniera:

  • $f(0) = a_0$
  • $f(1) = a_1$
  • $f(2) = a_2$

La successione può essere:

  • Superiormente limitata
  • Inferiormente limitata
  • Limitata

Serie #

Sia $(a_n)_n$ una successione di numeri reali. Definiamo la successione $(s_n)_n$ associata:

  • $s_0 = a_0$
  • $s_1 = a_0 + a_1$
  • $s_2 = a_0 + a_1 + a_2$
  • $\vdots$

La successione delle somme parziali si chiama serie e si indica:

$$ \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n \text{ oppure } \sum a_n $$

I numeri $a_n$ si dicono termini della serie. Una serie può essere:

  • Convergente: $\exists \lim_{n \to +\infty} s_n = A \in \mathbb{R}$
  • Divergente $\exists \lim_{n \to \infty} s_n = \begin{cases} -\infty\\ +\infty\end{cases}$
  • Indeterminata $\nexists \lim_{n \to +\infty} s_n$

Data una serie $\sum a_n$, se cambio un numero finito di termini, la serie generata manterrà il carattere dell’originale.

Serie geometrica #

Dato $q \in \mathbb{R}$, allora:

$$ R_n := q^n \Rightarrow \sum_{n = 0}^{+\infty} q^n $$

La serie geometrica converge soltanto se $|q| < 1$.

$$ \sum_{n} q^n = \frac{1}{1 - q} $$

Convergenza di una serie #

Una serie converge se e soltanto se $a_n \to 0$. La condizione precedente è necessaria ma non sufficiente per affermare la convergenza di una serie.

Criterio di condensazione #

Dati: $(a_n)_n, (b_n)_n$

$$ \forall n : 0 \leq a_n \leq b_n $$
  • se $b_n$ converge, anche $a_n$ converge.
  • se $a_n$ diverge, anche $b_n$ diverge.

Criterio di condensazione #

$\sum_{n} a_n$ converge se e soltanto se converge:

$$ \sum_{k = 0}^{+\infty} 2^k a_2k $$

Criterio del valore assoluto #

Data una serie $\sum_{n}a_n$, se la serie $\sum_{n}|a_n|$ converge, anche la prima converge.

$$ |\sum_{n}a_n| = \sum_{n}|a_n| $$

Una serie che viene dichiarata convergente usando questo criterio è detta assolutamente convergente.

Criterio della radice #

Dato: $(a_n)_n$

Se $\exists \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$, allora:

  • se $L < 1$ allora $\sum a_n$ converge
  • se $L > 1$ allora $\sum a_n$ non converge
  • se $L = 1$ allora non si può concludere nulla

Criterio del rapporto #

Dato: $(a_n)_n, a_n \neq 0$

Se $\exists \lim_{n \to +\infty} |\frac{a_n + 1}{a_n}| = L$, allora:

  • se $L < 1$ allora $\sum_{}^{} a_n$ converge
  • se $L > 1$ allora $\sum_{}^{} a_n$ non converge
  • se $L = 1$ allora non si può concludere nulla

Criterio di Leibniz #

Se $(a_j)_j : a_j > 0 : a_j \geq a_j + 1 : \lim_{j \to +\infty} a_j = 0$, allora la serie:

$$ \sum_{j = 1}^{+\infty} (-1)^j * a_j $$

converge.

Criterio del confronto asintotico #

Dati: $(a_n)_n, \forall n : a_n \geq 0$ e $(b_n)_n, \forall n : b_n > 0$

Se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = L > 0$, allora:

  • $\sum a_n < +\infty \Leftrightarrow \sum b_n < +\infty$, entrambe convergono
  • $\sum a_n = +\infty \Leftrightarrow \sum b_n = +\infty$, entrambe divergono

Dati: $(a_n)_n, \forall n : a_n \geq 0$ e $p = n * a_n$

Se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{\frac{1}{n^p}} = L > 0$, allora $\sum_{n} a_n$ converge se $\sum_{n}^{} \frac{1}{n^p}$ converge; possibile converge se $p > 1$.