Principio di induzione #

Il principio di induzione è un metodo generico per dimostrare un teorema qualsiasi con dominio in $\mathbb{N}$. Il procedimento di prova per induzione prevede un affermazione o uguaglianza che dipende da $n$ e viene indicata con: $P(n)$.

Data l’affermazione $P(n)$, il principio prova la precedente, al verificarsi delle seguenti condizioni:

1. $P(0)$
2. $P(k)$

Se queste condizioni si verificano, allora: $P(n)$ è vera.

Principio del minimo #

Ogni sottoinsieme di $\mathbb{N}$ ha un minimo.

Principio del valore intermedio #

Data una funzione continua $f(x)$ e due punti $f(a)$ e $f(b)$, allora:

Piccole nozioni #

• L’insieme dei numeri reali non è numerabile
• Radice aritmetica: $\sqrt{n} = m : m \in \mathbb{N}$
• Seno iperbolico: $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• Coseno iperbolico: $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• Tangente iperbolica: $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

Maggioranti e minoranti #

Dato $\mathbb{A} = \{ a \in \mathbb{R} \}$:

• Maggiorante: $M \in \mathbb{R} \land \forall a \in \mathbb{A} : a \leq M$
• Minorante: $m \in \mathbb{R} \land \forall a \in \mathbb{A} : a \geq M$

Se l’insieme $\mathbb{A}$ ammette un maggiorante si dice superiormente limitato, se ammette un minorante si dice inferiormente limitato e se ammette entrambe si dice limitato.

• Il massimo di un insieme $\mathbb{A}$, se esiste, è il più piccolo dei maggioranti
• Il minimo di un insieme $\mathbb{A}$, se esiste, è il più grande dei minoranti

Numeri complessi #

Si risolve introducendo $i$: $x^2 = -1 \to x = \sqrt{-1} \to i^2 = -1$.

Un numero complesso è composto da due parti:

• parte reale: $a \in \mathbb{R}$
• parte complessa: $i * b : b \in \mathbb{R}$

Notazione dei numeri complessi #

Teorema fondamentale dell’algebra #

Tesi: $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x^1 + a_0$

Ipotesi: Il polinomio $p(x)$ ha $n$ radici in $\mathbb{C}$ tenendo in conto la moltiplicabilità: $a_0, \dots , a_n \in \mathbb{C}; a_n \neq 0$.