Limiti #

Possiamo definire i limiti tramite le successioni e tramite gli intorni.

Prima definizione #

$$ \lim_{n \to +\infty} f(a_n) = L $$

Seconda definizione #

La funzione $f(x)$ si avvicina arbitrariamente ad L, a patto che $x$ sia abbastanza vicino a $x_0$.

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall n > \delta : \forall x \in \space ] x_0 - \delta, x_0 + \delta [ \space \backslash \space \{x_0\} \implies f(x) \in \space ] L - \varepsilon, L + \varepsilon [ $$

$\varepsilon$ = intorno al limite della funzione per quel valore
$\delta$ = intorno al valore della funzione
$L$ = il valore del limite

Nel caso il limite $\in [-\infty, +\infty]$ allora usiamo la notazione $M > 0$ oppure $M < 0$ per indicare l’intorno.

Gerarchia degli infiniti #

Seguono alcune funzioni in ordine crescente di chi permette a $n$ di tendere ad infinito più velocemente.

$\ln(n)$
$n^a : (a > 0)$
$A^n : (a > 1)$
$n!$
$n^n$

Algebra dei limiti #

Dati i limiti $L, M, x_0 \in [ -\infty , +\infty ]$, $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$ allora:

$\lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = L + M$
$\lim_{x \to x_0} (f(x) - g(x)) = L - M$
$\lim_{x \to x_0} (f(x) * g(x)) = L * M$

Limiti notevoli #

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$