Approssimazione lineare #
Un’errore si indica con un “o piccolo”.
$$ o(1) \implies \text{è una funzione che tende a 0 per } h \to 0 $$La notazione “o piccolo” indica un comportamento piuttosto che una valore arbitrario.
Dato $n \in \mathbb{N}$:
$$ g(h) = o(h^n) \text{ per } h \to 0 \implies \frac{g(h)}{h^n} \to 0 \text{ per } h \to 0 \implies \frac{g(h)}{h^n} = o(1) \text{ per } h \to 0 $$Punti critici #
- Data una funzione derivabile $f(x)$, $x_0$ è un punto critico di essa se $Df(x_0) = 0$.
- Data una funzione derivabile $f(x)$, i punti di massimo e minimo locale sono punti critici.
Teorema di Rolle #
Dati: $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$, continua su $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$, $f(a) = f(b)$:
$$ \exists \space c \in \space ]a,b[ \space : Df(c) = 0 $$Teorema di Weierstrass #
Dati: $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$, continua su $[a,b]$:
$$ \exists \text{ un massimo ed un minimo di }f $$Teorema di Lagrange #
Dati: $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$, continua su $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$:
$$ \exists \space c \in \space ]a,b[ \space : Df(c) = \frac{f(b)- f(a)}{b - a} $$Teorema De l’Hopital #
Dati: $f,g : [-\infty,+\infty], \space \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 = \lim_{x \to x_0} g(x)$:
$$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{Df(x)}{Dg(x)} = L \in [-\infty,+\infty] $$Teorema di Cauchy #
Dati: $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$, continua su $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$:
$$ \exists \space c \in \space ]a,b[ \space : (f(b) - f(a))Dg(c) = (g(b) - g(a))Df(c) \implies \frac{Df(c)}{Dg(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} $$