Equazioni Differenziali

Data una equazione:

$$ \begin{cases} \dot{x} = f(x)g(t)\\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$

Possiamo ricavare la funzione $x(t)$ con la seguente formula:

$$ \int^{x}_{x_0}\frac{1}{f(s)}ds = \int^{t}_{t_0}g(s)ds $$

Data una equazione:

$$ \begin{cases} \dot{x} = a(t)x + b(t)\\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$

Se $b \equiv 0$ allora possiamo risolverla con la formula:

$$ x(t) = e^{\int^{t}_{t_0}a(s)ds}x_0 $$

Altrimenti la formula completa è:

$$ x(t) = e^{\int^{t}_{t_0}a(s)ds}(x_0 + \int^{t}_{t_0}e^{-\int^{y}_{t_0}a(s)ds}b(y)dy) $$

Data una equazione:

$$ \begin{cases} \ddot{x} + a\dot{x} + bx = 0\\ x(t_0) = x_0\\ \dot{x}(t_0) = v_0 \end{cases} $$

Bisogna trovare il rispettivo polinomio caratteristico:

$$ p(\lambda) = \lambda^2 + a\lambda + b $$

Trovare $\lambda_1, \lambda_2$ e:

se $\lambda_1 \neq \lambda_2 \in \mathbb{R} \to x(t) = C_1e^{\lambda_1t} + C_2e^{\lambda_2t}$
se $\lambda_1 = \lambda_2 \in \mathbb{R} \to x(t) = e^{\lambda_1t}(C_1 + C_2t)$
se $\lambda_{1,2} = \lambda \pm i\mu, \mu > 0 \to x(t) = e^{\lambda t}(C_1\cos(\mu t) + C_2\sin(\mu t))$