Vettori #
I vettori sono degli elementi di uno spazio vettoriale, perciò possono essere sommati tra di loro e moltiplicati per dei numeri detti scalari.
$\vec{v} = (x_1, y_1)$ $\vec{w} = (x_2, y_2)$
- Somma: $\vec{v} + \vec{w} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
- Moltiplicazione: $\lambda \vec{v} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$
Spazio vettoriale #
Lo spazio vettoriale è una struttura algebrica composta da:
- Un campo $\mathbb{K}$ di elementi scalari
- Un insieme di vettori $\mathbb{V}$
- due operazioni binarie interne (solitamente somma $+$ e prodotto $*$)
- $+: \mathbb{V} \times \mathbb{V} \to \mathbb{V}$
- $*: \mathbb{K} \times \mathbb{V} \to \mathbb{V}$
Un spazio vettoriale è tale affinché $(\mathbb{V}, +)$ sia commutativo.
Sottospazio vettoriale #
Dati $\mathbb{K}$ campo, $V$ $\mathbb{K}$-spazio vettoriale e $W \subseteq V$, $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se:
- $\vec{0} \in W$
- $\forall \ \vec{v}, \vec{w} \in W : \vec{v} + \vec{w} \in W$
- $\forall \ \lambda \in \mathbb{K} : \forall \ \vec{v} \in W : \lambda \vec{v} \in W$
Formula di Grassman #
La formula di Grassman è una relazione tra le dimensioni di due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale di dimensione finita.
$$ \dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \wedge W) $$Somma diretta #
$$ U \oplus W \text{ se } U \cap W = \{ \vec{0} \} $$$U$ e $W$ sono in somma diretta se e solo se:
$$ B_u \cup B_w = B_{u+w} : \text{ è una base di } U + W $$Sottospazio affine #
Un sottospazio affine di $V$ è un sottoinsieme nella forma:
$$ \mathbb{A} = \{ \vec{v} + \vec{w} : \vec{w} \in W \} $$