Sistemi

Sistema lineare #

Segue un esempio di sistema lineare generico a coefficienti in $\mathbb{K}$:

Dati: $a_{ij} \in \mathbb{K}, b_i \in \mathbb{K}$

$$ S: \begin{cases} a_{11} x_1 + \dots + a_{1n} x_n = b_1\\ \vdots\\ a_{m1} x_1 + \dots + a_{mn} x_n = b_m \end {cases} $$

Un sistema lineare può essere:

  • Omogeneo: $b_1, \dots, b_m = 0$
  • Non omogeneo: $\exists \ b \neq 0$

L’insieme delle soluzioni viene indicato come:

$$ W_S = \{ \vec{x} \in \mathbb{K}^n : S(\vec{x}) = 0 \} $$

Semplificare un sistema significa ottenere un altro insieme di soluzioni $W_{S'}$ tale che:

$$ W_{S'} = W_S $$

Mosse di Gauss #

  1. Scambiare due righe: $R_i \leftrightarrow R_j$
  2. Moltiplicare una riga per uno scalare: $R_i \to \lambda R_i : \lambda \in \mathbb{K}$
  3. Sostituire una riga con se stessa sommata ad un multiplo di un’altra riga: $R_i \to R_i + \lambda R_j : \lambda \in \mathbb{K}$

Applicando le 3 mosse di Gauss ad un sistema lineare $S$, deriviamo il sistema $S'$ con il medesimo numero di soluzioni rispetto al sistema originale $S$.

Matrice dei coefficienti #

$$ A_S = A = \begin{pmatrix} a_{11} \dots a_{1n}\\ \vdots \space \ddots \space \vdots\\ a_{m1} \dots a_{mn} \end{pmatrix} \in M(m,n,\mathbb{K}) $$

Vettore dei termini noti #

$$ \vec{b} = (b_1, \dots, b_m) \in \mathbb{K}^m $$

Matrice del sistema #

$$ C_S = C = ( A | \vec{b} ) = \begin{pmatrix} a_{11} \dots a_{1n} \space b_1\\ \vdots \space \ddots \space \vdots \space \space \space \vdots\\ a_{m1} \dots a_{mn} \space b_m \end{pmatrix} \in M(m,n,\mathbb{K}) $$

Sistema lineare omogeneo associato #

$$ S_0: \begin{cases} a_{11} x_1 + \dots + a_{1n} x_n = 0\\ \vdots\\ a_{m1} x_1 + \dots + a_{mn} x_n = 0 \end {cases} $$$$ W_S = \vec{x} + W_{S_0} $$

Rango #

Il rango di un sistema $S$ è:

$$ rg(S)= \dim \space span(C^1, \dots, C^n, \vec{b}) \subseteq \mathbb{K}^m $$

Il rango è sempre minore del numero di righe $m$. Se la matrice del sistema $C$ è in forma di “Gauss-Jordan”:

$$ rg(S) = n\text{-pivot} $$

Possiamo dire che:

$$ rg(S) \leq \min(m, n) $$

Teorema di Rouché-Capelli #

Dato un sistema lineare $S$ e il sistema lineare omogeneo associato $S_0$, $S$ ha la soluzione se e soltanto se:

$$ rg(S) = rg(S_0) $$

Se $W_S \neq \emptyset$, allora la $dim(W_S) = n - rg(S_0)$.