Numeri Complessi

Numero complesso #

Un numero complesso viene rappresentato nel seguente modo:

$$ z = a + bi $$
  • $a$ è la parte reale
  • $b$ è la parte immaginaria
  • $i$ è l’unità immaginaria

$\mathbb{C} =$ insieme dei numeri complessi $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$

Operazioni con i numeri complessi #

  • Somma: $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$
  • Moltiplicazione: $(a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Simbologia #

  • $\bar{z}$ è il coniugato del numero reale $z \longrightarrow z = a+bi \implies \bar{z} = a-bi$
  • $|z|$ è il modulo del numero reale $z \longrightarrow z = a+bi \implies |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \in \mathbb{R}$
  • $z * \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2$
  • $z^{-1}$ è l’inverso del numero reale $z \longrightarrow z = a+bi \implies z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

Formula di Eulero #

Dati $r \in \mathbb{R}$ e $M \in (0, 2\pi)$:

$$ z = r(\cos(M)) + i r(\sin(M)) \in \mathbb{C} = r(\cos(M) + i\sin(M)) = re^{iM} \implies |z| = r, \bar{z} = re^{-iM} $$

e.g.

  • $e^{i\pi} + 1 = 0$

Teorema fondamentale dell’algebra #

Ogni polinomio a coefficienti complessi ammette una radice complessa.

$$ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n $$
  • $n$ = grado del polinomio
  • $a \in \mathbb{C}$ = coefficienti
  • $\forall z \in \mathbb{C}$ possiamo considerare $p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots + a_n z^n \in \mathbb{C}$