Matrici

Matrice #

Possiamo definire una matrice come una “griglia di numeri”

$$ a_{ij} \in \mathbb{K} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

Una matrice $m \times n$ dove $m$ sono le righe e $n$ sono le colonne

Notazione #

$$ A = M(m,n,\mathbb{K}) = (a_{ij}) : i = 1 \dots m : j = 1 \dots n $$

  • $A^i$ è la $i$-esima colonna $\in \mathbb{K}^m \to A = \begin{pmatrix} A^1 | \dots | A^n \end{pmatrix}$

  • $A_j$ è la $j$-esima colonna $\in \mathbb{K}^n \to A = \begin{pmatrix} A_1 \\ - \\ \vdots \\ - \\ A_m \end{pmatrix}$

Pivot #

Data una riga $R_i$ di una matrice $M(m,n,\mathbb{K})$, il pivot di $R_i$ è il primo coefficiente non nullo partendo da sinistra.

Matrice a scalini #

Data una matrice $M(m,n,\mathbb{K})$, essa può essere detta “a scalini” se $\forall i$, considerando la $i$-esima riga $R_i$ e il rispettivo pivot $a_{ij}$:

$$ a_{kh} = 0\ \forall \begin{cases} k > i\\ h < j \end{cases} $$$$ \begin{pmatrix} 1 \space 1 \space 0 \space 0 \space 1\\ 0 \space 1 \space 1 \space 0 \space 1\\ 0 \space 0 \space 1 \space 1 \space 1\\ 0 \space 0 \space 0 \space 1 \space 1\\ 0 \space 0 \space 0 \space 0 \space 1\\ \end{pmatrix} $$

Rango #

Dato: $A \in M(m,n,\mathbb{K})$

$$ rg(A)= dim\ span(A^1, \dots, A^n, \vec{b}) \leq \mathbb{K}^m $$
  • Se $A'$ è una matrice ottenuta da $A$ usando le mosse di Gauss, allora $rg(A') = rg(A)$
  • $rg(A) \leq min(m,n)$
  • $rgr(A) = dim\ span(A_1, \dots, A_m) \leq n :$ rango per riga
  • $rgr(A') = rgr(A)$, se $A'$ è una matrice ottenuta usando le mosse di Gauss

Trasposta #

La trasposta di una matrice:

$$ A \in M(m,n,\mathbb{K}) = (a_{ij}) \implies {}^tA \in M(n,m,\mathbb{K}) = (a_{ji}) $$

Sotto-matrice #

La sotto-matrice $B$ di $A$ è una matrice $B \in M(k,h,\mathbb{K})$ con $k \leq m$ e $h \leq n$, ottenuta da $A$ togliendo $m - k$ righe e $n - h$ colonne.

Matrice dei cofattori #

Dato: $A \in M(m,n,\mathbb{K})$

$$ C_{ij} (A) \in M(m-1, n-1, \mathbb{K}) $$

La matrice dei cofattori di una matrice $A$ si ottiene togliendo la $i$-esima riga e la $j$-esima colonna dalla matrice $A$.

  • se $B \leq A$, allora $rg(B) \leq rg(A)$
  • $\forall$ combinazione lineare di $A^1, \dots, A^n$ ottengo una combinazione lineare di $B^1, \dots, B^k$

Determinante #

Dato: $A \in M(n,\mathbb{K})$

Il determinante di $A$ è uno scalare che si può ottenere soltanto da matrici quadrate, e si ottiene nei seguenti modi:

  1. $n = 1 \implies det A = a$
  2. $n = 2 \implies det A = ad - bc$
  3. $n \geq 3 \implies det A = \sum^{n}_{j=1} (-1)^{j+1} a_{1j} \ det C_{1j} (A)$

Per le matrici triangolare superiore, matrici diagonali e matrici identità:

$$ det A = \text{ prodotto degli elementi sulla diagonale} $$

Se una matrice $A$ ha due righe o colonne uguali $\implies det A = 0$

Determinante e le mosse di Gauss #

Il determinante è una funzione che prende in entrata una matrice e restituisce uno scalare. Questa funzione si relaziona con le mosse di Gauss, nella seguente maniera:

  1. Prima mossa: $A_i \leftrightarrow A_j \implies det(A') = -det(A)$
  2. Seconda mossa: $A_i \rightarrow \lambda A_i \implies det(A') = \lambda det(A)$
  3. Terza mossa: $A_i \rightarrow A_i + \lambda A_j \implies det(A') = det(A)$

Moltiplicazione righe per colonne #

Date due matrici generiche, generalmente è impossibile moltiplicarle. Se le matrici assumono le seguenti forme, allora la moltiplicazione è possibile:

  • $A \in M(m,n,\mathbb{K})$
  • $B \in M(n,k,\mathbb{K})$
$$ AB \in M(m,k,\mathbb{K}) $$