Gruppo #

Dato l’insieme $\mathbb{G}$ ed un’operazione binaria di tipo $P_1: \mathbb{G} \times \mathbb{G} \to \mathbb{G}$, tale che:

• $\exists$ un elemento neutro per l’operazione
• l’operazione deve essere associativa
• $\forall$ elemento di $\mathbb{G}$ ammette un’inverso

Possiamo definire il gruppo $(\mathbb{G}, P_1)$.

e.g.

• $(\mathbb{Q}, +)$ è un gruppo
• $(\mathbb{Q}, *)$ non è un gruppo, poiché $0$ non ha un elemento inverso
• $(\mathbb{R}, +)$ è un gruppo
• $(\mathbb{C}, +)$ è un gruppo

Gruppo commutativo #

Un gruppo si dice commutativo (o abeliano) se l’operazione $*_1$ è anche commutativa.

Sottogruppi #

Se un sottoinsieme del gruppo $(\mathbb{G}, P_1)$ rispetta le 3 condizioni di esistenza per i gruppi con l’operazione $P_1$, allora esso può essere definito un sottogruppo.