Combinazione lineare #

Dato un $\mathbb{V}$ $\mathbb{K}$-spazio vettoriale e degli elementi di $\mathbb{K}$ ($\lambda_i$), si dice combinazione lineare di $n$ vettori $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ una qualunque somma del seguente tipo:

Si può dire che i vettori della combinazione lineare sono:

• Linearmente dipendenti: se esiste una combinazione lineare a coefficienti non nulli che da come risultato un vettore nullo (i vettori sono paralleli)
• Linearmente indipendenti: se l’unica loro combinazione lineare che da come risultato il vettore nullo, è quella con tutti i coefficienti nulli (i vettori non sono paralleli)

Span #

Dati dei vettori $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ di un $\mathbb{V}$ $\mathbb{K}$-spazio vettoriale, lo span è l’insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori con coefficienti $\lambda_i$:

Lo $span(\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n)$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{V}$ e si può dire “sottospazio vettoriale generato da $\mathbb{V}$”.

Base #

I vettori $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ si dicono “sistema di generatori” di $\mathbb{V}$ se ogni vettore di $\mathbb{V}$ si può ottenere come combinazione lineare $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ I vettori $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ sono una base se:

• Sono linearmente indipendenti
• Sono un sistema di generatori

Se $\mathbb{V}$ ha una base costituita da $n$ vettori, allora si dice che la dimensione di $\mathbb{V}$ è $n$:

Se conosciamo la dimensione dello spazio vettoriale $\mathbb{V}$ e troviamo un insieme di vettori linearmente indipendenti, allora possiamo dire che quell’insieme di vettori è una base di $\mathbb{V}$.